Lokalizovaná Fourierova transformácia

• V rámci Fourierovej transformácie je možné časovú lokalizáciu dosiahnúť pridaním lokalizačnej (windowing) funkcie g(t) do Fourierovej transformácie

  
  

  $$F(\omega,t) = \int^{\infty}_{-\infty} f(u) g(u-t) e^{-i\omega u} du = \int^{\infty}_{-\infty} f(u) g_{\omega,t}(u) du$$ (32)

  
  

  čo nám dáva amplitúdu sínusovej vlny s frekvenciou $\omega$ v okolí časového okamihu t

• Ako lokalizačná funkcia sa najčastejšie používa Gaussova funkcia

  
  

  $$g(t) = \pi^{-1/4} e^{-t^2/2}$$ (33)

  
  

  potom hovoríme o tzv. Gáborovej transformácii

• Vlastnosti časovo-frekvenčnej lokalizácie sú dané vlastnosťami amplitúdy lokalizačnej funkcie $\vert g_{\omega,t}\vert^2$ a jej Fourierovej transformácie $\vert G_{\omega}\vert^2$

• Nepresnosť v určení je daná ich štandardnými odchýlkami:

  
  

  $$\sigma_g^2 = \int^{infty}_{-\infty} (u-t)^2 \vert g_{\omega,t}(u)\vert^2$$ (34)

  
  

  a

  
  

  $$\sigma_G^2 = \int^{infty}_{-\infty} (\omega' - \omega)^2 \vert G_{\omega,t}(u)\vert^2$$ (35)

  
  

• $\sigma_g$ a $\sigma_G$ určujú nepresnosť v časovej a frekvenčnej doméne

• Pre neurčitosti platí princíp neurčitosti

  
  

  $$\sigma_g \sigma_G \geq \pi/2$$ (36)

  
  

  a preto nemôže byť dosiahnutá ľubovoľná presnosť v obidvoch doménach (rovnosť platí

• Nevýhoda - krátkodobé variácie procesov nie je možné lokalizovať presnejšie ako $\sigma_g$ a preto pre procesy so zmenami na rozličných časových škálach je ťažké vybrať vhodnú lokalizačnú funkciu