Fourierova transformácia

• Fourierova transformácia - špecifikácia amplitúd, periód a fáz, ktoré dohromady reprodukujú pôvodnú funkciu

• Definícia:

  
  

  $$F(\nu) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{i2\pi \nu t} dt$$ (27)

  
  

  pričom premenné t a $\nu$ sa nazývajú Fourierov pár a pre inverznú transformáciu platí:

  
  

  $$f(t) = \int^{\infty}_{-\infty} F(\nu)e^{i2\pi \nu t} d\nu$$ (28)

  
  

• merania sú reálne čísla potom podľa Eulerovha vzťahu $e^{ix} = \cos x + i \sin x$:

  
  

  $$F(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(2\pi \nu t) dt + i \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(2\pi \nu t) dt$$ (29)

  
  

• Keďže $F(\nu)$ je komplexná funkcia, pri praktických aplikáciach sa používa amplitúda Fourierovej transformácie

• Reálne pozorovania - diskrétne f(t_k) kde k = 1,2... N, pričom N je počet pozorovaní, dáta boli získané počas konečného časového intervalu T = t_N - t₁, preto pracujeme s diskrétnou Fourierovou transformáciou

  
  

  $$F_N (\nu) = \sum_{k=1}^N f(t_k) e^{i2\pi\nu t_k}$$ (30)

  
  

• Hlavným výsledkom Fourierovej transformácie je power spectrum t.j. závislosť $\vert F(\nu)\vert^2$, pritom sa používa frekvenčná a nie periódová škála

• Periodová analýza je potom vyšetrovanie power spectra, ak majú dáta tvar jednej kosínusovej vlny s frekvenciou $\nu_0$, potom amplitúda Fourierovej transformácie dosahuje nenulovú hodnotu len vo frekvenciách $\nu$ a $-\nu$, v prípade periodickej funkcie zloženej z frekvencií $\nu_1, \nu_2,....$ bude transformácia dosahovať nenulové hodnoty len v $\nu = \pm \nu_1, \pm \nu_2,...$, v praxi je však použitá diskrétna fourierova transformácia a tá je ovplyvnená periodicitami v rozložení dát - aliasing a konečnou dĺžkou intervalu určujúcou šírky maxím vo Fourierovej transformácii a tým aj presnosť určenia periód

• Nyquistova frekvencia - rovnomerné rozloženie dát so vzdialenosťou $\delta t$ $\nu_N = 1/2\delta t$

• Pozorovaná Fourierova transformácia je konvolúciou skutočnej Fourierovej transformácie $F(\nu)$ a spektrálneho okna $\delta_N(\nu)$

  
  

  $$F_N = F(\nu) \ast \delta_N(\nu) = \int^{\infty}_{infty} F(\nu - \nu') \delta_N(\nu') d\nu'$$ (31)

  
  

• Spektrálne okno je dané ako diskrétna fourierova transformácia súboru dát, kde merané veličiny boli nahradené jednotkami, popisuje rozloženie dát, má maximum vo frekvencii 0, vedľajšie maximá zodpovedajú aliasom - falošným periodicitám, jeho pološírka je daná dĺžkou intervalu pozorovaní 1/2T, ak dáta pokrývajú dostatočne dlhý časový interval potom spektrálne okno ma ostré centrálne maximum - presnosť určenia periód sa zvyšuje s predlžovaním pozorovacieho intervalu

• Vedľajšie maximá v spektrálnom okne - periódy v rozložení pozorovaní: denná, mesačná, ročná, Prejavujú sa nielen v spektrálnom okne ale aj v power spektre - aliasing - falošné periódy, ak je vedľajšie maximum v spektrálnom okne na frekvenciách $\nu_P$ potom aj v power spektre sa okrem skutočnej periódy obsiahnutej v dátach $\nu_0$ objavia aj falošné periódy $\nu = \nu_0 + \nu_p$ a $\nu = \nu_0 - \nu_p$

• Nevýhodny Fourierovej transformácie - nemá časovú lokalizáciu - neumožňuje rozlíšiť medzi možnosťou dvoch blízkych periód v dátach od zmeny periódy počas sledovaného intervalu - jedným riešeném je rozdelenie intervalu na niekoľko častí: problémom je však možný nedostatok poorovaní v jednotlivých intervaloch