Metóda minimalizácie fázovej disperzie

• Základom metódy je hľadanie takej periódy, ktorá dá minimálny rozptylu pozorovaní okolo strednej fázovej krivky

• Nech je disperzia sledovanej veličiny $\vec{x}$

  
  

  $$\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2,$$ (40)

  
  

  kde $\overline{x}$ je stredná hodnota sledovanej veličiny

• Rozdeľme fázový interval $\phi \in <0,1)$ na M podintervalov (binov), ak j-ty bin obsahuje n_j bodov, j=1,2,...,M potom disperzia tohto binu je daný výrazom:

  
  

  $$s^2_j = \frac{1}{n_j-1} \sum_{i=1}^{n_j} (x_i - \overline{x_j}),$$ (41)

  
  

  $\overline{x_j}$ je stredná hodnota v bine

• Celková disperzia pre všetky biny je daná výrazom:

  
  

  $$s^2 = \frac{\sum_{j=1}{M} (n_j - 1)}{s_j^2}{\sum_{j=1}^M (n_j - M)}$$ (42)

  
  

  popisuje mieru rozptylu pozorovaní voči strednej fázovej krivke

• Signifikancia je potom definovaná ako:

  
  

  $$\theta = \frac{s^2}{\sigma^2}$$ (43)

  
  

• Ak skúšobná perióda nie je reálnou potom $s^2 \approx \sigma^2$ a $\theta \approx 1$, ak je perióda reálna $\theta$ bude dosahovať lokálne minimum

• Biny sa vyberajú podľa tzv. binomickej štruktúry (N_b,N_c), kde N_b je pčet jednotkového fázového podintervalu s dĺžkou 1/N_b a N_c určuje veľkosť prekrytia binov, tak, že potom máme N_b N_c binov so vzájomnou vzdialenosťou 1/N_b

• Dôležitou charakteristikou je pološírka lokálneho minima funkcie $\theta(\nu)$

  
  

  $$\delta \nu_{1/2} = \frac{1}{T} \sqrt{\frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{N_b^2}},$$ (44)

  
  

  kde $\alpha$ je parameter závislý na tvare fázovej krivky a T je dĺžka pozorovaciho intervalu

• pre subharmonické frekvencie $\nu_n = \nu_1/n$, je možné ukázať, že pre subharmonické frekvencie platí $\alpha \approx 2n$, potom pošírky miním subharmonických frekvencií sú menšie ako harmonického minima, podobne sa dá ukázať že hĺbky miním zodpovedajúcim subharmonickým frekvenciám sa zmenšujú

• podobne ako pri Fourierovej transformácii sa v grafe $\theta(\nu)$ objavujú aj aliasy