Fourierova transformácia - špecifikácia amplitúd, periód a fáz, ktoré
dohromady reprodukujú pôvodnú funkciu
Definícia:
(27)
pričom premenné t a sa nazývajú Fourierov pár a pre inverznú
transformáciu platí:
(28)
merania sú reálne čísla potom podľa Eulerovha vzťahu
:
(29)
Keďže je komplexná funkcia, pri praktických aplikáciach
sa používa amplitúda Fourierovej transformácie
Reálne pozorovania - diskrétne f(tk) kde k = 1,2... N, pričom
N je počet pozorovaní, dáta boli získané počas konečného časového
intervalu T = tN - t1, preto pracujeme s diskrétnou Fourierovou
transformáciou
(30)
Hlavným výsledkom Fourierovej transformácie je power spectrum
t.j. závislosť , pritom sa používa frekvenčná a nie
periódová škála
Periodová analýza je potom vyšetrovanie power spectra, ak majú dáta
tvar jednej kosínusovej vlny s frekvenciou , potom amplitúda
Fourierovej transformácie dosahuje nenulovú hodnotu len vo frekvenciách
a , v prípade periodickej funkcie zloženej z frekvencií
bude transformácia dosahovať nenulové hodnoty len
v
, v praxi je však použitá diskrétna
fourierova transformácia a tá je ovplyvnená periodicitami v rozložení
dát - aliasing a konečnou dĺžkou intervalu určujúcou šírky maxím vo
Fourierovej transformácii a tým aj presnosť určenia periód
Nyquistova frekvencia - rovnomerné rozloženie dát so vzdialenosťou
Pozorovaná Fourierova transformácia je konvolúciou skutočnej Fourierovej
transformácie a spektrálneho okna
(31)
Spektrálne okno je dané ako diskrétna fourierova transformácia súboru
dát, kde merané veličiny boli nahradené jednotkami, popisuje rozloženie
dát, má maximum vo frekvencii 0, vedľajšie maximá zodpovedajú aliasom
- falošným periodicitám, jeho pološírka je daná dĺžkou intervalu
pozorovaní 1/2T, ak dáta pokrývajú dostatočne dlhý časový interval
potom spektrálne okno ma ostré centrálne maximum - presnosť určenia
periód sa zvyšuje s predlžovaním pozorovacieho intervalu
Vedľajšie maximá v spektrálnom okne - periódy v rozložení pozorovaní:
denná, mesačná, ročná, Prejavujú sa nielen v spektrálnom okne ale aj v
power spektre - aliasing - falošné periódy, ak je vedľajšie maximum
v spektrálnom okne na frekvenciách potom aj v power spektre
sa okrem skutočnej periódy obsiahnutej v dátach objavia aj
falošné periódy
a
Nevýhodny Fourierovej transformácie - nemá časovú lokalizáciu -
neumožňuje rozlíšiť medzi možnosťou dvoch blízkych periód v dátach
od zmeny periódy počas sledovaného intervalu - jedným riešeném je
rozdelenie intervalu na niekoľko častí: problémom je však možný
nedostatok poorovaní v jednotlivých intervaloch